• Напечатать
• Спросить
• Отправить другу
• Поделиться
  • Facebook
  • Twitter
• Подписаться на новости

Типи складних висловлювань

Логіка висловлювань дає змогу на підставі знання логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності логічних зв'язок робити висновки про істинність чи хибність складних висловлювань. Наприклад, дано висловлювання "А-> ->BVCAD" і відомо, що А - істинне, В - істинне, С - хибне і D - хибне. Завдання полягає в тому, щоб визначити логічне значення названого складного висловлювання.

Щоб виконати це завдання, треба взяти до уваги, по-перше, логічні значення простих висловлювань, а по-друге - дані таблиць істинності відповідних логічних зв'язок. До того ж треба пам'ятати черговість логічних операцій: спочатку виконується кон'юнкція, потім диз'юнкція, імплікація і т. д. (подібно до того, як у математиці спочатку виконують множення і ділення, а потім додавання і віднімання).

Визначаючи логічне значення висловлювання "А-> -+BVCAD", здійснимо послідовно відповідні операції:

• С (хиба) л D (хиба) дає хибу;
• В (істина) v хиба дає істину;
• А (істина) -> істина дає істину.

Отже, при наведених логічних значеннях простих висловлювань складне висловлювання "A-BVCAD" виявилося істинним. Проте можуть трапитися випадки, коли логічні значення деяких простих висловлювань у складному нам невідомі. Чи можна визначити логічне значення складних висловлювань у такому разі? Іноді можна.

Наприклад, є складне висловлювання "BVCA AD", В якому В - істинне, а логічні значення простих висловлювань С і D - невідомі. Орієнтуючись на таблицю істинності нестрогої диз'юнкції й враховуючи черговість логічних операцій, неважко дійти висновку, що це висловлювання є істинним. Загалом висловлювання "BVCAD" можна розглядати як нестрогу диз'юнкцію: "BV (CAD)". Оскільки в цій диз'юнкції один диз'юнкт (В) істинний, то й диз'юнкція загалом буде істинною, незалежно від логічного значення другого диз'юнкта - (CAD).

І, нарешті, здавалося б, зовсім безглузде запитання: а чи трапляються складні висловлювання такої конструкції, логічне значення яких можна визначити за умови повної відсутності знань про істиннісне значення їх складників, тобто відповідних простих висловлювань?

Так! Як це не парадоксально.

Наприклад:

• AvBvA.
• A-> (BvB).
• З. АА (ВА'В).
• AvA.

Перше і друге висловлювання істинні, а третє і четверте - хибні.

Перше висловлювання істинне тому, що це нестрога диз'юнкція, яка є істинною за умови, що хоча б один диз'юнкт є істинним. А в цьому висловлюванні завжди є істинним один із диз'юнктів: або А, або не-А.

Друге висловлювання теж істинне, бо загалом воно є імплікативним з істинним консеквентом ("BvB"). A імплікація не може бути хибною за умови, що її консеквент є істинним (про це свідчить таблиця істинності імплікації).

Третє висловлювання хибне, бо кон'юнкція є хибною, якщо хоч один кон'юнкт хибний. А в цьому висловлюванні другий кон'юнкт ("ВлВ") є хибним.

Четверте висловлювання ("AvA") теж хибне, бо диз'юнкція "AvA" є істинною, а її заперечення (риска над цим висловлюванням) перетворює його на хибне.

Перше і друге висловлювання не просто істинні, а "завжди істинні", тобто такі, істинність яких не залежить від істинності чи хибності їх складників. "Завжди істинні" висловлювання (формули) називають законами логіки. їх називають ще "тотожно істинними", "логічно істинними", "тавтологіями", "універсально-загальнозначимими".

Третє і четверте висловлювання є теж не просто хибними, а "завжди хибними", тобто такими, хибність яких не залежить від логічного значення простих висловлювань, їх складників. "Завжди хибні" висловлювання (формули) ще називають логічними суперечностями.

Переважна ж більшість складних висловлювань є такими, істиннісне значення яких не можна визначити без врахування істинності чи хибності їх складників. Такі висловлювання називаються виконуваними (здійсненними, невизначеними).

У логіці розроблено спеціальні методи, з допомогою яких з'ясовують, до якого типу належить те чи інше складне висловлювання (формула), тобто встановлюють, чи є воно "завжди істинним" (законом логіки), "завжди хибним" (логічною суперечністю) чи виконуваним.

Розглянемо один із таких методів - метод таблиць істинності.

Таблиці істинності логічних зв'язок, з якими ми вже ознайомились, можна застосовувати і для визначення істиннісного значення складних висловлювань. Ці таблиці будують за схемою.

У перший рядок таблиці вписують спочатку прості висловлювання (пропозиційні змінні), потім ті складові висловлювання, що містять одну логічну зв'язку, за ними - ті, що містять дві зв'язки і т. д. Завершується рядок висловлюванням, яке аналізується. Кожному складнику висловлювання в першому рядку таблиці відводиться клітинка, кожна з яких розпочинає відповідний стовпчик.

Наприклад, висловлювання "(AVB) AB" так вписується в таблицю:

А В В AvB (AvB) vB

Y і

Оскільки до складу досліджуваного висловлювання входять лише дві пропозиційні змінні (А, В), то рядків у таблиці буде чотири (коли б пропозиційних змінних було три, то кількість рядків подвоїлася б).

Заповнюючи таблицю, впишемо в перший та другий стовпчики усі припустимі набори логічних значень пропорційних змінних "А" і "В". Значення "В" встановлюється відповідно до значень "В" згідно з таблицею істинності зв'язки "заперечення".

Значення "AvB" встановлюється відповідно до значень "А" і "В" згідно з таблицею істинності нестрого! диз'юнкції. Логічне значення досліджуваного висловлювання "(AVB) ABJ> встановлюється відповідно до значень "AvB" і "В" згідно з таблицею істинності кон'юнкції.

А В В AvB (AVB) AB

і і X і X

і X і і і

X і X і X

X X і X X

Оскільки в останньому стовпчику таблиці траплявся різні логічні значення (тобто як "істина", так і &ба"), то це висловлювання є виконуваним.

А В А АлА (АлА) ч>В

і і X X і

і X X X іX і і X і

X X і X і

Логічна суперечність

А В А AvB АлА (AvB) л (АлА)

і і X і X X

і X X і X X

X і і і X X

X X і X X X

Метод таблиць істинності ефективний при з'ясуванні типу складних висловлювань, які містять дві-три пропозиційних змінні. Якщо ж пропозиційних змінних у висловлюванні більше, то вдаються до методу аналітичних таблиць та інших методів.

Навіть коли висловлювання містить три пропозиційні змінні, таблиці істинності вже є громіздкими:

А В с А АлВлА (АлВлА) ч>С

і і і X X

і І X X X

і X і X X

і X X X X

X і і і X

X і X і X

X X і і X

X X X і X і

З'ясувавши сутність і значення логіки висловлювань (пропозиційної логіки), неважко здогадатися про її неуніверсальний характер. Це виявляється в тому, що існують такі міркування, правильність яких не можна обґрунтувати з допомогою числення висловлювань, тобто абстрагуючись від внутрішньої структури простих висловлювань.

Так, правильність міркування "Всі метали - електропровідники, отже, деякі електропровідники - метали" залежить не лише від логічних зв'язків між висловлюваннями, а й від їх внутрішньої будови. Цей та інші факти свідчать про необхідність такої логічної теорії, яка б брала до уваги суб'єктно-предикатну структуру простих висловлювань і ввела б нові логічні константи: "V" - квантор загальності і "З" - квантор існування. Вираз "Vx" читають: "для будь-якого х...", а вираз "Зх" - "існує такий х...".

Така теорія створена. Вона називається логікою предикатів, або теорією квантифікації. До того ж ця теорія - це розширення логіки висловлювань, тому всі закони останньої є одночасно і законами логіки предикатів (але не навпаки!). Предметом цієї логіки є також лише дескриптивні висловлювання, які мають два логічні значення: "істина" і "хиба".

Мова логіки предикатів - це штучна мова, пристосована до аналізу логічної структури простих висловлювань. До неї належать список відповідних знакових засобів (алфавіт) і визначення правильно побудованих виразів. Такими виразами є терми і формули.

Знакові засоби мови логіки предикатів поділяють на технічні і нетехнічні, а останні, у свою чергу, - на логічні і нелогічні. До нелогічних термінів належать насамперед імена і предикатори.

Ім'я - термін, що позначає будь-який предмет.

Предикатор - термін, що позначає ту чи іншу властивість предмета або відношення.

Предикатори, що виражають властивості предметів, називаються одномісними, а предикатори, які виражають відношення між предметами, - неодномісними (двомісними, тримісними тощо). Предметним значенням предикаторів вважають множини, елементами яких є або окремі предмети, або їх послідовності (наприклад, пари предметів).

Логічними термінами, які входять до складу простих висловлювань, є квантор загальності та квантор існування.

Алфавіт логіки предикатів

І. Нетехнічні знаки. До нетехнічних належать нелогічні і логічні знаки: предметні (індивідні) константи, предметні (індивідні) змінні, предикатні символи, знаки логічних сполучників і знаки кванторів.

1. Предметні (індивідні) константи: а, Ь, с, а;, br сг.. Ці знаки використовують для позначення власних імен природної мови ("Чернігів", "Гегель", "Тетерів").

2. Предметні (індивідні) змінні: х, у, z, x', yr zr Якщо предметні константи пов'язують з конкретними власними іменами, то предметні змінні замінюють будь-яке ім'я відповідної предметної сфери ("місто", "людина", "річка").

Предикаторні константи: Pn, Q", R", Sn, Pnr Qnr Rnv Snr.. Цими знаками позначають предикатори природної мови. Верхній індекс вказує на їх місткість, а нижній - на порядковий номер. Так, одномісний пре-дикатор можна записати як Р\ двомісний - як Р2 тощо (прикладом одномісного предикатора може стати вираз "бути електропровідним", двомісного - "бути дешевшим, ніж", а тримісного - "розташовуватися між").

4. Знаки логічних сполучників (ці знаки відомі нам з логіки висловлювань): "-", "л", "v", "v", "->", "<-"".

5. Знаки кванторів: V - знак квантора загальності і З - знак квантора існування.

II. Технічні знаки.

(- ліва дужка;

) - права дужка;

, - кома.

Перелічені технічні знаки в логіці предикатів служать своєрідними знаками пунктуації.

Алфавіт універсальніших штучних мов логіки предикатів поповнюється й деякими іншим знаками.

Визначення правильно побудованих виразів

У мові логіки предикатів є два види правильно побудованих виразів (п. п. в.) - це терми і формули.

Визначення терма:

• Будь-яка предметна константа є термом.
• Будь-яка предметна змінна є термом.

Іншими словами, символи а, Ь, с... (як предметні константи) і символи х, у, z... (як предметні змінні) є термами, чого не можна сказати про символи Р, Q, R тощо.

Визначення формули:

• Якщо t, г2,..., t - терми і П". є п-місним предикатором то Пп. (rr t2,.... tj є формулою. 1
• Якщо А є формулою, то й А (не-А) є формулою.
• Якщо А і В є формулами, то формулами є й такі висловлювання, як "ААВ", "AVB", "AVB", "А->В", "А<->В".
• Якщо А є формулою, ах - предметною змінною, то й "ЗхА" і "VxA" теж є формулами 2.

Жоден інший вираз не є формулою.

Формули, наведені в першому пункті, називають простими, або атомарними, а всі інші - складними, або молекулярними. Так, вираз Р1 - це знак одномісного предикатора, ах - предметна змінна, яка є термом. Вираз же Р1 (х, R (а)) не можна вважати формулою, бо R (a) не є термом.

Щоб перекласти на мову логіки предикатів висловлювання природної мови, необхідно:

• всі кванторні слова замінити відповідно кванторами загальності чи існування (V, 3);
• всі слова, які є власними іменами, замінити предметними (індивідними) константами (а, Ь, с...);
• всі слова, які є загальними іменами, замінити предметними (індивідними) змінними (х, у, 2...);
• всі слова, які позначають властивості предметів, замінити одномісними предикаторами, а слова, що позначають відношення, - двомісними чи багатомісними предикаторами.

Після цього можна записати формулу в цілому. Розглянемо кілька прикладів перекладу висловлювань природної мови на мову логіки предикатів.

1. Верхній індекс "п" (п>1) вказує на те, яким є предикатор: одномісним, двомісним, тримісним. А нижній "і" свідчить про довільність предикатора.

2. Символи tr t2 tn; 27".; А, В належать не до знаків мови логіки предикатів, "а до знаків метамови, з допомогоюякої говориться про вирази логіки предикатів. 1. "Всі квадрати - ромби". Позначивши кванторне слово "всі" знаком "V", "квадрати" - "х", а "ромби" - "Р", одержимо формулу "УхР (х)".

Це висловлювання можна зобразити засобами мови предикатів і по-іншому "Ул: (P (x) -Q (x))", де "Р" і "<3" позначають відповідно властивості "бути квадратом" і "бути ромбом".

Цей вираз читається: "Для будь-якого х вірно, що коли х є квадратом, то він є ромбом". 2. "Деякі ромби - квадрати" - 3X (Q (X) AP (X)), що означає "Існують такі х, для яких вірно, що х є ромбом і квадратом".

3. "Деякі ромби не квадрати" - 3X (Q (X) AP (X)), що означає: "Існують такі х, для яких вірно, що х - ромб і х не є квадратом".

4. "Жоден квадрат не є трикутником" - Vx (P (x) -> ->R (x)), що означає: "Для будь-якого х вірно, що коли х є квадратом, то він не є трикутником". Зв'язані та вільні змінні

Приписування до предиката квантора загальності чи квантора існування називається операцією зв'язування квантором.

Квантифікація може здійснюватися одночасно по відношенню до кількох пропозиційних функцій, а також при одночасному використанні кількох кванторів. Тому необхідно враховувати сферу дії кожного квантора, ту частину квантифікованої функції, на яку поширюється дія того чи іншого квантора.

Так, у формулі \/x (P (x) ~>3y (Q (x) vR (y))) сферою дії квантора загальності є вся частина формули, розташована справа від цього квантора (тобто P (x) ~>3y (Q (x) vR (y)), а сферою дії квантора існування - тільки Q (x) vR (y). Змінна, яка розташована безпосередньо після квантора і входить у сферу його дії, називається зв'язаною змінною, а змінна, яка не входить до сфери дії квантора, - вільною.

Розглянемо відмінність між вільними і зв'язаними змінними на такому прикладі:

Ух (P (x) ->R (u)) A3y (Q (x, y) vR (x, z)).

Тут дужки вказують на сферу дії кожного квантора. Вільні змінні (змінні, що вільно входять до формули) підкреслено. Лише вони є справжніми змінними, а зв'язані змінні називають фіктивними. Справді, змінна - це те, замість чого можна підставити одне з її значень і одержати осмислений вираз, проте зв'язані змінні не задовольняють цієї умови.

Формули \/хР (х) і УуР (у) різняться лише своїми фіктивними змінними, тому вони розглядаються як різні способи запису одного і того ж висловлювання і називаються конгруентними.

Формули, в яких усі індивідні змінні зв'язані, називаються замкненими. Ці формули є символічними записами певних висловлювань, істинних або хибних. А формули, до складу яких входять вільні індивідні змінні, є символічними записами пропозиційних форм, які неможливо однозначно оцінити як істинні чи хибні. Такі формули називають відкритими.

Змінну, яка вільно входить до формули, можна замінити на іншу індивідну змінну. Причому, якщо змінна, що вводиться у формулу, відрізняється від усіх інших індивідних змінних цієї формули, то всі вільні входження індивідних змінних є вільними.

У цьому разі фактично відбувається лише переіменування індивідної змінної (наприклад, х на г). Якщо ж під час заміни індивідної змінної (скажімо, х на z) виявиться, що в цій формулі вже є входження 2 і до того ж зв'язане, то може виникнути ситуація, яку називають колізією змінних, коли в результаті заміни, скажімо, х на 2, вільні входження індивідної змінної перетворюються на зв'язані. У правильних міркуваннях така (некоректна) заміна неприпустима, оскільки вона може призвести до хибних тверджень. Так, заміна вільної індивідної змінної х у формулі Зу (х < у) на у є некоректною - Зг/ (у < у), оскільки перетворює істинне висловлювання на хибне: "Існує таке число (у), яке є більшим за себе".

Ознайомившись із наведеними поняттями, можна починати розгляд системи виводу в логіці предикатів. Ця система містить правила виводу логіки висловлювань і правила введення й усунення кванторів. Досі йшлося про логіку предикатів першого ступеня, в якій квантори зв'язують предметні змінні. Проте, щоб охопити всі вирази природної мови, не достатньо ні логіки висловлювань, ні логіки предикатів першого ступеня.

В розмовній мові трапляються предикати не лише від предметних змінних, а й від предикатів. Іншими словами, бувають ситуації, коли виникає потреба в мові ширшого порядку. Йдеться про можливість побудови мови логіки предикатів другого, третього, четвертого чи будь-якого іншого ступеня порядку.

Для роздумів

Крім традиційного, можна було б запропонувати й інші визначення судження, скажімо, як форми мислення, з допомогою якої встановлюється відношення між обсягами понять: у стверджувальних - як сумісних, тобто або тотожних, або перехресних, або таких, що перебувають у відношенні підпорядкування, в заперечних - як несумісних. Щоправда, обсяг предиката частково заперечного судження є несумісним лише з тією частиною обсягу суб'єкта, яка дійсно в ньому мислиться. Так, у судженні "Тільки деякі ромби не належать до квадратів" квадрати повністю виключаються не з усієї множини ромбів, а лише з певної їх підмножини. При додатковій інформації можна встановити, що квадрати повністю виключаються із підмножини не прямокутних ромбів.

Порівнюючи судження з поняттями, як правило, стверджують, ніби поняття загалом є змістовнішими, оскільки в них відображаються лише істотні та загальні ознаки, а в судженнях можуть відображатися (і дуже часто відображаються) й неістотні, випадкові, зовнішні, одиничні ознаки. Та при цьому порушуються вимоги логіки, коли, оцінюючи змістовність судження, беруть до уваги лише явно виражені знання, а, оцінюючи зміст поняття, враховують неявно виражені знання. Проте судження складається з понять суб'єкта і предиката - і в них у неявній формі (точно так само, як і в поняттях!) мисляться істотні й загальні ознаки. Так, у судженні "Деякі люди короткозорі" в явній формі розкривається лише одна і до того ж неістотна ознака людей.

Проте в суб'єкті в неявній формі мисляться всі ті істотні й загальні ознаки, що і в понятті "людина". Звідси випливає висновок, що судження не поступаються за змістом поняттям. Більше того, завдяки судженням відображаються й інші ознаки - неістотні, одиничні тощо, без знання яких людям не обійтися. Предикат судження традиційно визначається як поняття про ознаку, яка належить чи не належить предметові (чи множині предметів), що мислиться в суб'єкті. На нашу думку, у формальній логіці предикат раціональніше розглядати як поняття про множину предметів. Так, у судженні "Ця троянда червона" троянда мислено включається до обсягу поняття "червона".

Ця істина фактично визнається при встановленні розподіленості термінів у судженні. Мають місце суперечності й при з'ясуванні структури судження. Так, розкриваючи структуру судження, цілком слушно стверджують, що суб'єкт судження може виражатися як групою граматичного підмета, так і групою граматичного присудка. Наприклад, у судженні "Риба дихає зябрами", яке є відповіддю на запитання "Хто дихає зябрами?", суб'єктом є поняття "ті, хто дихає зябрами", а предикатом - "риба". Та визнавши цю незаперечну істину, автори підручників тут же відмовляються від неї, стверджуючи, ніби суб'єкт займає перше місце в судженні і, як правило, супроводжується відповідними кванторними словами ("всі", "жоден", "деякі" тощо).

Парадоксально, що студенти не помічають цієї метаморфози. Спантеличені словами викладача логіки про те, що предмет думки може виражатися не лише групою граматичного підмета, а й групою граматичного присудка, вони відразу заспокоюються, коли викладач відмовляється від своїх слів, завжди ставлячи на перше місце суб'єкт, а на друге -- предикат ("Всі S є Р", "Деякі S є Р"). Не виключена можливість, що такий підхід до аналізу суджень, коли на перше місце ставиться суб'єкт, має певний сенс. Та про це необхідно відверто заявити, скажімо, так: "Пам'ятаючи, що суб'єкт і предикат судження можуть виражатися як групою підмета, так і групою присудка, домовимося, що в подальшому вивченні суджень ми будемо ставити на перше місце суб'єкт і виражатимемо його, як правило, групою підмета.

В іншому разі аналіз суджень буде ускладненим, оскільки вивченню будь-якого аспекту теми "Судження" знову і знову передуватиме визначення його конкретної структури. До того ж таке визначення поза контекстом і актом мовлення неможливе. А пізніше, вивчаючи операцію обернення, необхідно знову повернутися до цього питання, зазначивши, що з допомогою цієї операції можна домогтися того, щоб суб'єкт судження завжди був на першому місці.

Визначити розподіленість термінів судження формально-логічними засобами вдається не завжди, що в кінцевому підсумку негативно виявляється в процесі міркування.

Встановлюючи розподіленість термінів судження, треба враховувати лише його форму, а не зміст. При цьому слід брати до уваги і ту обставину, що основним завданням при аналізі суджень, які нам пропонуються (як аргументи доведення чи засновки умовиводів), є з'ясування їх будови.

Так, суб'єкт судження "Всі люди мають високу мораль" може здатися нерозподіленим на тій підставі, що фактично не всі люди належать до високоморальних. Але ж при цьому ми свавільно змінили кількісну характеристику запропонованого нам судження. Кванторне слово "всі" свідчить про те, що суб'єкт цього судження розподілений, а предикат — невизначений (як предикат стверджувального судження), хоча при врахуванні змісту він виявився б розподіленим, оскільки всі високоморальні належать до людей.

Класифікуючи судження, треба віднести судження існування до атрибутивних. Ніхто не стане заперечувати, що наявність буття є атрибутом усіх речей у прямому розумінні цього слова.

Непереконливим є і поділ суджень на ймовірні та достовірні. Формально-логічні критерії не дають змоги відрізнити взяті поза контекстом справді достовірні судження від імовірних. Адже ніхто не стане заперечувати, що судження "Мабуть, усі метали електропровідні" за формально-логічними критеріями має ймовірнісний характер, а судження "Немає сумніву в тому, що Сонце є супутником Землі" є достовірним. Тому поділ суджень на ймовірні і достовірні потребує уточнення. Це стосується і визначення цих суджень у системі формальної логіки.

Недосконалим видається і "логічний квадрат". Справді, якщо часткові судження (7, О) вважати визначеними ("Тільки деякі S є Р", "Тільки деякі S не є Р"), то два суперечних судження можуть бути одночасно хибними, а істинним виявиться третє судження, що суперечить закону виключеного третього, який твердить: із двох суперечних суджень одне неодмінно істинне, друге - хибне, а третього і бути не може. Так, судження "Жоден метал не є електропровідним" і "Тільки деякі метали електропровідні" є одночасно хибними, а істинним виявиться третє судження "Всі метали електропровідні".

Якщо ж часткові судження вважати невизначеними (тобто формулу "Деякі S є (не є) Р" інтерпретувати як "Принаймні деякі S є (не є) Р"), то виникає інша проблема: два суперечних судження можуть виявитися протилежними з усіма відомими наслідками, насамперед тим, що вони можуть бути одночасно хибними.

Як же ми, викладачі логіки, виходимо з цього глухого кута? Намагаємося довести студентам, ніби з двох суперечних суджень одне неодмінно істинне, оскільки невизначене часткове судження фактично містить у собі два судження "Деякі S (а можливо, і всі S) є Р". Якщо закон виключеного третього уже своєю назвою не припускає можливості третього, то в невизначеному частковому судженні третє мислиться з самого початку ("А можливо, і всі S є Р"; "А можливо, і жодне S не є Р").

У символічній логіці, зокрема в логіці висловлювань, аналогічні проблеми розв'язуються іншими засобами і коректніше. Так, з істинності судження а з необхідністю випливає хибність в, і навпаки. При цьому а означає будь-яке за кількістю і якістю судження, а в є судженням про вихідне судження - "Хибно, що а...".

Багато позитивного пишуть про символічну логіку, її значення. Проте, наскільки автору відомо, ніхто не висвітлює питання про втрати логічної науки від недооцінки традиційної логіки. Цікаво було б зіставити, зокрема, вчення традиційної логіки про складні судження і логіку висловлювань та логіку предикатів і з'ясувати питання, чи всі здобутки цього вчення збереглися в логіці висловлювань.

21.10.2011