• Напечатать
• Спросить
• Отправить другу
• Поделиться
  • Facebook
  • Twitter
• Подписаться на новости

Призначення курсу вищої математики

Окрім теоретичних знань з вищої математики та практичних умінь розв'язання математичних задач курс математики сприяє:

• з'ясуванню різних засобів розв'язання прикладних задач,
• з'ясуванню універсальності математичної мови,
• формуванню загальної культури особистості,
• формуванню двох важливих функцій особистості,
• правильно ставити мету та відповідно до неї визначати умови і можливості її досягнення,
• моделювати та програвати на моделях можливі ситуації, в результаті отримувати оптимальні рішення.

Види понять вузівських математичних курсів та особливості їх формування

Кожна наука і кожний навчальний предмет оперує певним колом властивим їм понять. Поняття - це форма мислення, в якій відображаються загальні істотні й відмінні (специфічні) властивості і особливості певних предметів або явищ дійсності. Математичні поняття відображають у нашому мисленні просторові форми та кількісні відношення дійсності, абстрагуючись від реальних ситуацій. Кожне поняття має свій обсяг і зміст.

Обсяг поняття - це множина об'єктів, які охоплюються цим поняттям. Зміст поняття - це множина суттєвих спільних властивостей, притаманних усім об'єктам, що належать до поняття. Виділяють родові та видові поняття. Якщо обсяг одного поняття є частиною обсягу другого, то перше поняття називають видовим, а друге родовим. У курсі вищої математики виділяють, так само, як і в шкільному курсі математики, такі види понять: первісні, які вводяться описово, означувані.

Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико-синтетичної діяльності студентів. У структуру пізнавальної діяльності щодо засвоєння математичних понять входять як загальні (аналіз, синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (дія підведення під поняття і обернена їй дія - виведення наслідків). Чим складніше означення, тим більше вправ на підведення під поняття треба розглядати. Причому, викладач повинен варіювати як суттєвими, так і не суттєвими ознаками поняття, включати і такі об'єкти, які не належать до поняття, що формується. При введенні блоку понять, які означаються таким чи іншим чином, варто закінчити цей блок характеристикою видів означень, логічних структур означень.

Також доцільно створити класифікаційну схему - можна у вигляді схеми, таблиці або кругів Ейлера. Вона, в свою чергу, буде демонструвати взаємозв'язок родових та видових понять. На початку вивчення курсу або блоку викладачу допоможе складання структурно-логічної схеми, яка відображає зв'язок різних понять між собою. Вона може мати вигляд При підготовці викладач повинен підібрати різні посібники з різними означеннями одного і того ж поняття і надати перевагу тому чи іншому означенню, враховуючи:1. інформацію про зв'язок цього поняття з іншими;

Викладач також повинен потурбуватись про метод введення того чи іншого поняття. Якщо це класичний вищий навчальний заклад, то метод, скоріше за все, буде абстрактно-дедуктивний, якщо ж гуманітарний - то, скоріше, конкретно-індуктивний. При підведенні підсумку лекції (або як теоретичне запитання на колоквіумі) можна задати завдання навести структурно-логічну схему або назвати всі родові, видові поняття і тому подібне.

Вивчення теорем у курсі вищої математики

Із теоремами та їх доведеннями студенти знайомі ще зі школи. Теореми і їх доведення розвивають логіку мислення студентів, просторові уявлення та уяву, вчать методам доведення. Доведення дають змогу студентам засвоїти евристичні прийоми розумової діяльності, формують позитивні якості особистості, зокрема обґрунтованість суджень, стислість, чіткість висловлення думки, критичність мислення. Теорема — з грецької означає "досліджую", "розглядаю".

Теорема - математичне твердження, істинність якого встановлюється шляхом доведення. Формулювання теореми містить складові: - роз'яснювальну частину (назви об'єктів, які розглядаються в теоремі);- умову (інформація відносно тих умов, при яких розглядається об'єкти або відношення);- висновок (те, що треба довести, дослідити відносно цього об'єкту або відношення). Треба зважувати на те, що в алгебрі дуже часто теореми називають правилами, законами, формулами, твердженнями. Але все це теореми і потребують не меншої уваги.

Теореми поділяють на прості та складні в залежності від виду умови та висновку. Існує інша класифікація - відносно логічної структури теореми. Тут стрілочки позначають еквівалентність відповідних теорем. За значимістю та складністю доведення серед теорем виділяють наслідки та леми. Із цими поняттями студенти досить часто зустрічаються при вивченні вищої математики, тому варто пояснити їм різницю між теоремою, наслідком та лемою.

Теореми можна формулювати у двох формах:

• імплікативна: "Якщо А, то В" (А => В).
• категорична: не використовується "Якщо..., то...". З відношенням слідування (=>) і рівносильності (<=>) безпосередньо пов'язані три види умов, що стосуються умовних тверджень: необхідні, t достатні, необхідні і достатні.

Із такими термінами студенти досить часто зустрічаються при вивченні курсу вищої математики. Тому, якщо вони не усвідомлюють їх значення, необхідно наголосити на цьому. Потрібно також звернути увагу на терміни теорема-властивість та теорема-ознака.

У вузівському курсі, враховуючи шкільний досвід студентів та їх рівень знань, можна назвати таку поетапність вивчення теорем:

• актуалізація опорних знань;
• мотивація вивчення теореми;
• формулювання теореми;
• виконання малюнку, скороченого запису умови теореми;
• доведення;
• скорочена назва;
• використання.

Вивчення доведення теореми може проводитись на чотирьох рівнях навчання:

• вивчається готове доведення;
• доведення проводиться за наперед вказаним методом або прийомом;
• самостійно проводиться доведення по аналогії;
• самостійний пошук доведення.

При проведенні лекції викладачу варто навести один спосіб доведення, але повідомити про існування інших і запропонувати розібрати їх самостійно. Можна вказати на прийом доведення або дати літературу. Обов'язково треба зважити на новизну, складність прийому, методу доведення І повідомити про це студентів. До самостійної роботи над теоремою, що вивчається, доцільно відносити заповнення прогалин в доведенні з аргументацією якихось кроків доведення. Можна пропонувати доводити самостійно теореми-наслідки.

При підготовці до лекції, яка містить ряд теорем, лектору необхідно:

• проаналізувати зміст різних альтернативних курсів з метою ознайомлення, якими способами може доводитись одна і та ж теорема та з'ясування різниці між ними;
• вибрати один спосіб доведення за основу (при виборі звертати увагу на використану систему аксіом, порядок вивчення тем і на те, чи не порушується логіка слідування).

На лекції варто викладачу навести один спосіб доведення теореми, але обов'язково повідомити про існування інших. На практичному занятті можна навести прийом або вказати літературу для відшукання іншого способу доведення. Якщо у когось уже є ідеї щодо доведення, обов'язково надати йому слово. При вивченні теорем, необхідно з'ясовувати і характеризувати метод або прийом доведення, навчати проводити пошук доведення.

Формування у студентів умінь розв'язання задач при вивченні курсу вищої математики

У курсі вищої математики студенти зустрічаються із задачами на лекціях, на практичних заняттях, на наукових гуртках, при виконанні контрольних, розрахункових, самостійних робіт, на колоквіумах, екзаменах тощо. У структурі задачі виділяють вимогу та умову.

За змістом вимоги їх поділяють на задачі:

• на обчислення;
• на доведення;
• на побудову;
• на дослідження.

Останній вид задач дуже рідко зустрічається в шкільному курсі математики, але є широко розповсюдженим у курсі вищої математики.

За дидактичним призначенням задачі класифікують на:

• задачі для мотивації;
• задачі для створення проблемних ситуацій;
• задачі для підведення під поняття;
• задачі для здійснення алгоритмічного підходу;
• задачі для опанування певним методом, прийомом;
• задачі для контролю, корекції та оцінки знань, умінь.

За ступенем складності задачі поділяють на:

• репродуктивні;
• реконструктивні;
• задачі евристичного характеру, тобто творчі;
• напівалгоритмічні.

Викладачу варто звернути увагу студентів на те, що розв'язання задачі будь-якої складності базується на використанні формул, ознак, правил, аксіом, теорем, властивостей, на основі яких створюється алгоритм розв'язання. Викладач, який має справу із задачами, повинен пам'ятати про етапи їх розв'язування та проводити ці етапи.

Етапи розв'язування задач:

• 1. Аналіз тексту задачі (відокремлення умови від вимоги; створення моделі задачі).
• 2. Пошук плану розв'язання задачі (з'ясування виду задачі та саме пошук плану розв'язання).
• 3. Здійснення знайденого плану.
• 4. Перевірка розв'язання, дослідження.
• 5. Аналіз проведеного розв'язання задачі (Чи немає іншого способу розв'язання?; Який з наведених способів раціональніший, за рахунок чого?; Що нового вивчили при розв'язанні цієї задачі?).

Література

1. Вікова та педагогічна психологія: Навч. посіб. /О. В. Скрипченко, Л. В. Долинська, З. В. Огороднійчук та ін. -К.:Просвіта, 2001. -416с.
2. Крутецкий В. А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ. - М.:Просвещение, 1980. -352с.
3. Слєпкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Метод. пособие. -К.:Рад. школа, 1983. -192с.
4. Скрипченко О., Долинська Л., Огороднійчук 3. та інші. Загальна психологія: Навч. посібник. -К.: "АПН", 2002. -462с.
5. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.:Просвещение, 1983. -160с.

03.04.2012