• Напечатать
• Спросить
• Отправить другу
• Поделиться
  • Facebook
  • Twitter
• Подписаться на новости

Один з найновіших словників з логіки дає таке визначення: "Вивід логічний - міркування, в ході якого з яких-небудь суджень - засновків - з допомогою логічних правил одержують висновок - нове судження". Це визначення повністю збігається з визначенням умовиводу. Про це свідчить і приклад, яким ілюструється цитоване визначення: "Всі люди смертні. Кай - людина. Кай смертний".

Часте ототожнення виводу з умовиводом пояснюється їх подібністю. І умовивід, і логічний вивід є міркуваннями, будуються вони відповідно до певних логічних правил, містять засновки і висновки, дають змогу одержувати так зване вивідне знання. Проте між ними існує й істотна відмінність. Якщо умовивід - це справжнє, змістовне міркування, то логічний вивід нагадує своєрідну гру "... з символами, коли можна комбінувати символи у відповідності з правилами, з'єднувати їх, роз'єднувати тощо".

Правила, відповідно до яких будується логічний вивід, є строго однозначно визначеними, що не завжди можна сказати про правила умовиводів. Засновками і висновком умовиводу є судження, виражені засобами природної мови, а засновками і висновком виводу є безструктурні, позначені символами прості висловлювання, формули і навіть схеми формул (до речі, висновок тут називається вивідною формулою). Назвати вивідну формулу знанням можна хіба що умовно, оскільки вона набуває смислу тільки після відповідної інтерпретації.

Вивід - послідовність висловлювань, формул або схем формул, яка утворюється з аксіом, засновків і теорем (раніше доведених формул), остання формула якої (послідовності) виведена з попередніх формул за правилами відповідної формально-логічної теорії.

Логічний вивід у логіці висловлювань є одним з видів числення. Оскільки кожна формальна система має власні аксіоми і правила виводу, то в кожній з них вивід носить специфічний характер. Особливо ефективними є виводи в системі логіки висловлювань, насамперед в системі натурального виводу. Процес міркування, одержання істинних висновків у них ґрунтується не на застосуванні конкретних за змістом засновків і навіть не на зв'язках між обсягами термінів у середині простих суджень (між суб'єктом і предикатом) та обсягами термінів різних простих суджень (як у силогізмі), а на характері логічних зв'язків між висловлюваннями, врахуванні лише логічного значення (істинності чи хибності) останніх та коректному застосуванні до них правил виводу.

Формалізувавши (в даному випадку - переклавши на мову логіки висловлювань) вихідні судження, судження-засновки, можна алгоритмізувати процес виведення із засновків необхідного й істинного висновку, який, будучи перекладеним на природну мову, фігуруватиме як розв'язання відповідної задачі.

Найважливішими характеристиками виводу логіки висловлювань є:, по-перше, сумісність його засновків і висновку, їх несуперечливість, а по-друге, та обставина, що кожен закон ("завжди істинне" висловлювання) в цій формальній системі піддається обґрунтуванню. 'Натуральним цей вивід називають тому, що він будується способом, близьким до того, яким ми звичайно користуємось у неформальних доведеннях.

Мова й основні правила виводу логіки висловлювань

Правило виводу - своєрідний трафарет, шаблон, припис, що визначає перехід від засновків до висновку-наслідку, вказуючи, яким чином висловлювання, істинність яких відома, можна видозмінювати, щоб одержати нові істинні висловлювання.

Пропонують і таке формулювання правил виводу: "Правила виводу - це способи логічного переходу від засновків до висновку, які задають правила введення і усунення логічних сполучників".

Правило введення кон'юнкції (ВК):

• А
• А, АА0Л... АА
• 1 Z П

Згідно з цим правилом істинні висловлювання завжди можна з'єднувати знаком кон'юнкції. У найпростішому випадку це правило записується так:-, що

АлВ означає: якщо висловлювання А, В поодинці істинні,

то істинна і їх кон'юнкція - АлВ. Наприклад: Тарас Шевченко - геніальний поет (А). Тарас Шевченко - талановитий живописець (В).

Тарас Шевченко - геніальний поет і (він же) талановитий живописець (АлВ).

Одержаний висновок є істинним, чого не скажеш, наприклад, про складне висловлювання (кон'юнкцію) "Тарас Шевченко - геніальний поет і живописець", оскільки ознака геніальності в цьому висловлюванні стосується Шевченка і як живописця.

Цей приклад не можна вважати типовим, оскільки суб'єктами простих суджень (кон'юнктів) далеко не завжди виступає одне й те ж поняття. Приклад, як правило, адресується буденній свідомості, здоровому глузду. Тому "типовіші" приклади, що ілюструють правила введення кон'юнкції, здадуться непереконливими для здорового глузду. Скажімо, ""Сім" - просте число, і Київ - столиця України" (АлВ).

Правило усунення кон'юнкції (УК):

• А, /А9л... лА
• А>

Це правило дозволяє з кон'юнкції висловлювань виводити будь-яке висловлювання, що є її кон'юнктом.

Наприклад:

У скоєнні цього злочину брали участь А і В (АлВ). У скоєнні цього злочину брав участь А (А).

Правило введення диз'юнкції (ВД): A, vA, v... vA

• 12 п

Це правило дозволяє до істинного висловлювання приєднувати з допомогою диз'юнкції (нестрогої) інші висловлення. Оскільки ж нестрога диз'юнкція є істинною за умови істинності принаймні одного диз'юнкта, то звідси випливає висновок, що логічне значення приєднуваних диз'юнктів не впливає на утворену диз'юнкцію: вона завжди буде істинною.

Наприклад:

О. Пушкін - геніальний поет.

Пушкін - геніальний поет або живописець.

Правила усунення диз'юнкції (УД)

Правило усунення строгої диз'юнкції:

• A, vA, v... vA
• 2- - п
• A, v... vA А,

Усунення строгої диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:

• АуВ ■ АуВ АуВ АуВ
• А. В. А. В
• В ' А В ' А

Правило усунення нестрогої диз'юнкції:

• A, vA. v... vA "A, vA "v... vA
• 12 п 12 п
• А9Л... ЛА "A, v... vA
• А, > А,

Логічний вивід і проблема розв'язання

Усунення нестрогої диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:

• AvB AvB А. В
• В ' А

У традиційній логіці правило усунення диз'юнкції відповідає схемі розділово-категоричного умовиводу.

Правило введення імплікації (ВІ):

• А В-+А

Згідно з таблицею істинності імплікації за умови істинності консеквента вона завжди є істинною. Дати переконливу змістовну інтерпретацію цього правила, мабуть, неможливо.

Правило дедукції є одним із різновидів введення імплікації:

• Г, АУ-В Г\- (А->В) '

Читається це правило так: "Якщо з гамми засновків Г і формули А можна вивести формулу В, то із засновків Г випливає формула А-+В.

Правило усунення імплікації (УІ):

• А-+В А->В
• А В~
• (Modus ponens); 2. —=— (Modus tollens).

Це правило дозволяє за наявності істинного антецедента виводити відповідний консеквент, а за наявності заперечення консеквента - переходити до заперечення антецедента.

Правило введення еквіваленції (BE): А->В В-+А А<->В '

Імплікація А-+В означає, що А є достатньою, але не необхідною підставою стосовно В, а В є необхідною, проте недостатньою умовою істинності А. Аналогічно можна охарактеризувати й імплікацію В->А, орієнтуючись на її складові (антецедент і консеквент), а не на буквене їх позначення. За умови істинності А->В і В-> ->А з цих даних можна вивести еквіваленцію А<->В, в якій виражається взаємна необхідність і достатність А і В.

Наприклад:

Якщо трикутник рівносторонній, то він рівнокутний (А->Б).

Якщо трикутник рівнокутний, то він рівносторонній (В->А).

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли він рівнокутний (А<->В).

Правило усунення еквіваленції (УЕ):

• 1 А<В А<В
• ' А-+В1 В->А'

З цього правила випливають такі висновки:

• А++В А-В А-В АА->В
• А. В. А. В.
• В А В~ А

Про правильність перелічених висновків свідчить таблиця істинності еквіваленції, згідно з якою логічне значення її правої і лівої частин збігається: і<->і; х--х.

Існують й інші правила виводу, котрі часто виділяють в окрему групу: "... в логіці висловлювань існують також правила перетворення суджень, які задаються відповідними рівносильностями (їх ще називають правилами еквівалентної заміни).

Знак "=", що з'єднує дві частини кожної формули, які наводяться нижче, означає логічну тотожність цих частин за будь-яких значень пропозиційних змінних (що можна перевірити, склавши для них таблиці істинності).

Ці рівносильності служать алгоритмами правомірної трансформації структури логічних виразів, а також правилами переходу до виразів з іншими логічними сполучниками" [15].

Поняття "рівносильність" (=) тотожне поняттю "еквівалентність" (<-"), хоча є деякі підстави для їх розрізнення. Так, у формулах рівносильностей "=" є головним логічним знаком, тобто таким, що застосовується останнім при побудові формули. Іноді рівносиль-ність невиправдано ототожнюють з рівнозначністю: "Рівнозначність - поняття математичної логіки. Іноді в математичній логіці використовується як синонім відношення рівносильності між формулами, а іноді як синонім операції еквівалентності".

Проте, два висловлювання лише тоді є рівнозначними, якщо вони можуть бути одержаними з рівносильних формул А і Б в результаті заміни всіх змінних, які до них входять, конкретними висловлюваннями.

Різні автори називають різну кількість основних рівносильностей, на яких ґрунтуються правила перетворення висловлювань, їх еквівалентної заміни. Так, П. С Новіков до найважливіших відносить лише 13 рівносильностей, а автори "Формальної логіки" - кілька десятків.

Ось які рівносильності називає П. С. Новіков:

• А=А.
• АлВ я ВлА.
• (АлВ) лС=Ал (ВлС).
• AvB = BvA.
• (AvB) vC = Av (BvC).
• AA (BVC) = (АлВ) V (AAC).
• AV (BAC) = (АУВ) Л (АУС).
• (AvB) =АлВ.
• (АлВ) =AvB.
• AvA=A.
• АлА=А.
• Алі =А.
• Avx st A.

Автори "Формальної логіки" називають півсотні рівносильностей, більшість яких вважають основними. При цьому вони зазначають, що основні рівносильності містять "... схеми формул і належать до нескінченної множини рівносильних одна одній формул логіки висловлювань відповідного виду".

Ось ці 50 рівносильностей:

• 1. А=А.
• 2. (АлВ) = (ВлА).
• 3. Ал (ВлС) а (АлВ) лС.
• 4. (AvB) a (BvA).
• 5. Av (BvC) m (AvB) vC.
• 6. AV (BAC) = (AVB) A (AVC). б'. (BAC) VA = (AVB) A (AVC).
• 7. AA (BVC) a (AAB) V (AAC). 7'. (BVC) AA = (AAB) V (AAC).
• 8. AAA=A.
• 9. AvAaA.
• 10. (AXE) a (AvB).
• 11. (AvB) = (AAB).
• 12. (AAB) = (AB).
• 13. (A-+B) a (AvB).
• 14. (AAB) к (АуВ).
• 15. (AvB) a (AAB).
• 16. (A 17. ГАуБ) = (АVB) A (AVB).
• 18. (AVB) A (AVB) a B.
• 19. АЛ (04\/Б; M.
• 20. AV (AAB) Я A.
• 21. (AVC) A (BVC) a (AVC) A (BVC) A (AVB).
• 22. (AAC) V (BAC) a (AAC) V (BAC) V (AAB).
• 23. fA-BJ = (B-*A).
• 24. (A++B) = (A++B).
• 25. (АБ j * (АШІ).
• 26. (А "*Я; ■ (AB) MB-A).
• 27. Г-5; a&AB) v (AAB).
• 28. (Av/BJ ■ £Ї-" Я;.
• 29. fA-BJ a (AAE).
• 30. (A5B~J = (AAB).
• ЗІ. ГАОБ; a (JwB~).
• 32. fAvfl; s (A<BJ.
• 33. fAoBJ a (AvB).
• 34 v (AyB~j = (A~<+B).
• 35-42. Рівносильності, для побудови яких вдаються до додаткових логічних зв'язок та відповідних символів.
• 43. і ах.
• 44. х~аі.
• 45. Ai = А.
• 46. А<->х т А.
• 47. Алі =А. 47. ' ілА=А.
• 48. Алх =х. 48! хлА = х.
• 49. Avi =i. 49! ivA s і.
• 50. JCVA =A. 50! Avx sA

Рівносильність кожної з наведених схем формул можна обґрунтувати шляхом побудови відповідних таблиць істинності, до яких ми зверталися, визначаючи, яким є те чи інше складне висловлювання, - "завжди істинним" (законом логіки), "завжди хибним" (суперечністю) чи виконуваним (невизначеним).

Перевіримо з допомогою відповідних таблиць істинності рівносильність, скажімо, формул AV (BAC) І (AVB) A (AVC), даних у переліку рівносильностей під номером 6.

А В с ВлС AV (BAC)

і і і і

і і X X

і X і X

і X X X

X і і і

X і X X X

X X і X X

X X X X X

Оскільки в даних таблицях логічне значення (істинність чи хибність) формул (AV (BAC)) І ((AVB) A (AVC)) збігається (порівняйте останні стовпчики таблиць), то вони є рівносильними: AV (BAC) Ш (AVB) A (AVC).

Коротко охарактеризуємо перелічені рівносильності.

Перша рівносильність (А =А) означає, що подвійне заперечення будь-якрї формули рівносильне самій цій формулі: формула А істинна тоді, коли істинною є формула А, і хибна, коли хибною є формула А. Прикладом цієї рівносильності є рівнозначність висловлювань "Хибно, що 5 не є простим числом" і "5 - просте число".

Рівносильності 2 і 3 — (АлВ) щ (ВлА) і Ал (ВлС) = = (АлВ) лС - свідчать про комутативність й асоціативність кон'юнкції, а рівносильності 4 і 5 - (AvB) m = (BvA) і Av (BvC) = (AvB) vC - про комутативність та асоціативність диз'юнкції. Оскільки ці рівносильності досить прості, то навряд чи потрібна ілюстрація їх прикладами.

Рівносильності 6, 6', 7 і 7' - AV (BAC) * (AVB) A A (AVC), (BAC) VA Ш (AVB) A (AVC), AA (BVC) Ш (AAB) V V (AAC), (BVC) AA = (AAB) V (AAC) - свідчать про дистрибутивність диз'юнкції стосовно кон'юнкції і дистрибутивність кон'юнкції щодо диз'юнкції.

Прикладом рівносильності б може бути рівнозначність висловлювань "У вчиненні цього злочину брав участь І. або П. з С." і "У вчиненні цього злочину брав участь принаймні один підозрюваний з обох пар: І. або П. і І. або С".

Ілюстрацією рівносильності 7 є рівнозначність таких висловлювань: "Причиною отруєння є споживання першої страви і принаймні однієї з двох інших - другої або третьої" і "Причиною отруєння є споживання першої і другої страв або першої і третьої".

Рівносильності 8 і 9 - (АлА) = А і (AvA) = А - є законами ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції.

Рівносильності 10 і 11 - (АлВ) = (AvB) і (AvB) = = (АлВ) - називаються законами де Моргана. Прикладом рівносильності 10 є рівнозначність висловлювань "Хибно, що ця геометрична фігура є квадратом і що вона водночас має гострі кути" і "Ця геометрична фігура не є квадратом або вона не має гострих кутів".

Прикладом рівносильності 11 є рівнозначність висловлювань "Хибно, що він навчався на філософському чи історичному факультеті" і "Він не навчався ні на філософському, ні на історичному факультеті".

Приклад рівносильності 12 - (АлВ) = (А->В,): "Цей трикутник є рівностороннім і рівнокутним" і "Хибно, що коли трикутник є рівностороннім, то він не є рівнокутним".

Приклад рівносильності 13 - (А->В) = (AvB): "Якщо цей предмет металевий, то він електропровідний" і "Цей предмет не є металевим або він електропровідний".

Приклад рівносильності 14- (АлВ) = (AvB): "Ромб має рівні і попарно паралельні сторони" і "Хибно, що в ромба сторони не є рівними або не попарно паралельними". _ _

Приклад рівносильності 15 - (AvB) = (АлВ): "Цей кут є прямим або тупим" і "Хибно, що цей кут не є ні прямим, ні тупим".

Рівносильність 18 - (AvB) л (AvB) = В - називається законом виключення; рівносильності 19 і 20 - Ал (АВ) = А; Av (AлB) =А - законами поглинання; рівносильності 21 і 22_- (А\€) л (В\€) =_ (А\€) л (В\€ v (AvB); (AAC) V (ВЛС) = (АлС (BлC) v (AлB) - законами виявлення.

Рівносильності 23-27 є похідними від перерахованих рівносильностей 1-22.

Вдаючись до рівносильностей 1-27 і правил заміни, виводять рівносильності 28-34.

Особливе місце належить у системі виводу рівносильним формулам, до складу яких входять "завжди істинні" або "завжди хибні" підформули. Зрозуміло, що всі "завжди істинні" формули рівносильні одна одній. Це стосується і "завжди хибних" формул: вони теж рівносильні між собою. Згідно з таблицею істинності заперечення, заперечення "завжди істинної" формули є "завжди хибною" формулою, і навпаки. Так, оскільки формула А \/ІГ "завжди істинна", то формула AvA є "завжди хибною" (або: оскільки формула АлА "завжди хибна", то її заперечення АлА є "завжди істинною" формулою).

Позначивши буквою "і" "завжди істинну" формулу, а буквою "х" "завжди хибну", одержують рівносильності 43-50'.

Логічний вивід будується на таких засадах. На будь-якому кроці побудови виводу можна дописати до послідовності формул:

• будь-яку частину наявної формули (підформулу) або її заперечення як припущення;
• формулу, що випливає із записаних вище формул послідовності за одним із правил логічного виводу або рівносильну якійсь із записаних вище;
• раніше доведену формулу.

Якщо засновки є повними, тобто достатніми для одержання однозначного висновку, і несуперечливими, то одне із суперечних припущень призведе до суперечності (що дає підставу вважати його неспроможним), а друге - до несуперечливого шуканого висновку. Якщо ж засновки суперечливі, то в обох випадках ми прийдемо до суперечності, що буде достатньою підставою для того, щоб вважати хибними принаймні деякі засновки. І, нарешті, коли засновки є несуперечливими, але неповними, то з обох суперечних припущень будуть випливати різні висновки, які разом з тим не ведуть до суперечливості сам вивід.

Розглянемо названі ситуації на прикладах.

Дано чотири засновки, з яких потрібно вивести висновок:

• 1. А-В.
• 2. V C->A.
• 3. АуС.
• 4. АВ.

Перший хід міркування:

• 5. А (припущення).
• 6. В (усунення імплікації: 1; 5).
• 7. С (усунення строгої диз'юнкції: 3; 5).
• 8. В (усунення еквіваленції: 4; 5) - суперечність: 6; 8.
• 9. А (усунення імплікації 1; 8) - суперечність: 5; 9. 10. АлВлСлВлА (введення кон'юнкції: 5; 6; 7; 8; 9).

Другий хід міркування:

• 5. А (припущення).
• 6. С (усунення імплікації: 2; 5).
• 7. С (усунення строгої диз'юнкції: 3; 5) - суперечність: 6; 7.
• 8. Б (усунення еквіваленції: 4; 5).
• 9. АлСлСлВ (введення кон'юнкції: 5; 6; 7; 8).

Як бачимо, з обох суперечних припущень одержані суперечливі наслідки, що свідчить про суперечність засновків.

Розглянемо іншу ситуацію. Дано чотири засновки, з яких потрібно зробити висновок:

• 1. А-С.
• 2. AvB.
• 3. С-В.
• 4. CvA.

Перший хід міркування:

• 5. А (припущення).
• 6. С (усунення імплікації: 1; 5).
• 7. В (усунення строгої диз'юнкції: 2; 5).
• 8. С (усунення імплікації: 3; 7).
• 9. А (усунення нестрогої диз'юнкції: 4; 8).
• 10. АлСлВлСлА (введення кон'юнкції: 5; 6; 7; 8; 9).

Другий хід міркування:

• 5. А (припущення).
• 6. В (усунення строгої диз'юнкції: 2; 5).
• 7. С (усунення нестрогої диз'юнкції: 4; 5).
• 8. А (усунення імплікації: 1; 7).
• 9. В (усунення імплікації: 3; 7).
• 10. АлВлСлАлВ (введення кон'юнкції).

Оскільки жодне із суперечних припущень не призвело до суперечності міркування, то звідси випливає висновок: засновки потребують доповнення.

До припущень вдаються не завжди, а лише тоді, коли без них не можна зробити черговий крок логічного виводу (іноді припущення дає можливість скоротити шлях розв'язання задачі).

Якщо нам дано засновки:

• 1. А->В.
• 2. CvA.
• 3. B->D.
• 4. CAD,

то немає потреби вдаватися до припущення, оскільки четвертий засновок містить пряму інформацію про С і D.

• 5. Q (усунення кон'юнкції: 4);
• 6. j=) (усунення кон'юнкції: 4);
• 7. А (усунення нестрогої диз'юнкції: 2; 5);
• 8. В (усунення імплікації: 3; 6);
• 9. В (усунення імплікації: 1; 7);
• 10. CADAAABAB (введення кон'юнкції: 5; 6; 7; 8; 9).
• 11. CADAAABAB (усунення подвійного заперечення - УПЗ).
• 12. CADAAAB (згідно із законом ідемпотентності).

А якщо без припущення не можна обійтися, то яку ж змінну треба вибирати як припущення? Ту, з якої можна вивести якомога більше наслідків. Так, маючи засновки:

• 1. С-*А.
• 2. В->С-
• 3. AvB,

з яких потрібно зробити висновки, ми змушені брати за припущення С, оскільки саме воно дає можливість вивести найбільше висновків. Інші припущення тут неефективні: припущення В дає можливість одержати лише один висновок -С, а припущення А - жодного:

• 4. С (припущення).
• 5. А (усунення імплікації: 1; 5).
• 6. S (усунення імплікації: 2; 5).
• 7. А (усунення нестрогої диз'юнкції: 3; 6).

Щоб застосувати теорію логічного виводу у розв'язанні практичних задач, потрібно послідовно здійснити кілька операцій. Наприклад, у нас є такі дані:

Коло підозрюваних у скоєнні злочину обмежується чотирма особами: Івановим, Петровим, Сидоровим, Федотовим.

1. Іванов міг брати участь у скоєнні злочину тоді і тільки тоді, коли до цього злочину причетний і Петров.

2. Якщо до цього злочину не причетний Сидоров, то в ньому брав участь Федотов.

3. Відомо, що один і тільки один із підозрюваних Іванов або Сидоров - причетні до цього злочину.

4. Федотов довів своє алібі.

Насамперед потрібно виділити прості судження з цього тексту і позначити їх пропозиційними змінними.

Ось ці судження:

1. Іванов брав участь у скоєнні злочину (А).

2. Петров брав участь у скоєнні злочину (В).

3. Сидоров брав участь у скоєнні злочину (С).

4. Федотов брав участь у скоєнні злочину (£>). Після цього слід виділити логічні зв'язки, які є в цьому тексті (і відповідно їх розставити): <-", -, ->, у.

Поєднавши пропозиційні змінні (А, В, С, D) відповідними логічними термінами (зв'язками), одержимо такі висловлювання:

• 1. А<н>В.
• 2. С->£".
• 3. АуС;
• 4. D

Оскільки в нас є пряма інформація про алібі Федотова - D, то немає потреби вдаватися до припущення. Далі вивід будуємо так:

• 5. С (усунення імплікації: 2; 4).
• 6. А (усунення строгої диз'юнкції: 3; 5).
• 7. В (усунення еквіваленції: 1; 6).
• 8. БлСлАлВ (введення кон'юнкції: 4; 5; 6; 7).

Залишається лише зробити переклад одержаного висновку на природну мову: "Ні Федотов, ні Іванов, ні Петров не причетні до скоєння злочину. Злочин скоїв Сидоров".

19.10.2011