Чи може директор навчального закладу своїм наказом зобов'язати вчителів брати участь у конкурсах?

И при этом он ознакомил вас с приказом в журнале приказов под роспись и выдал копию? Если да - то да (в этом случае в приказе должна быть указана компенсация за потраченное время), если нет - то нет. Может лучше не перечить самодуру и кое-как поучаствовать, не сильно напрягаясь?

Формально може, але не може потім ніяк Вас наказати за невиконання, бо це не входить в ніякі посадові обовязки, тим більше конкретний конкурс. Буде брикатися, підпаде під прокурора